水移動問題

今日、NHKの「フレフレ」の中学生の科学関連の全国大会の問題が取り上げられていた。
その中に、興味深い問題があって、なんとか解けたので、嬉しがって書いておく。
問いは三つあったのだが、一つは簡単だったので残りの二つを少し形式を変えて記しておく。

問い１）頂点が凹んでいない七角形があって、一つの頂点からは、その隣の頂点を越えた二つ目の頂点へと線分が引かれている。それらの成す角度を全頂点（７つ分）について合計した値は何度か？

問い２）４つの容器があって、それぞれの容積は、2.7L、2.0L、1.1L、0.7Lである。最初に2.7Lの容器に満タンに水が入っている。容器の間で、互いに水を交換する操作を20回以下の回数行って、最終的に正確に0.9Lずつ3つの容器に入っている状態にする。ただし水面よりも上の部分の壁面に水は残らないものとする。どのように操作すれば良いか？

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私の答え

問い１）については、補助線二つを頂点から引いて、三角形二つを作れば、180×(7-4)=540度と分かります。
一般に同様に頂点が凹んでいないn角形の場合には
180×(n-4)度
になります。

問い２）については、15回の操作でOK。
これ以上少ない回数でも出きるのかなぁ。

2.7L、2.0L、 1.1L、0.7Lの容器内の水の量[単位はL]を記すと、

最初      ：2.7, 0.0, 0.0, 0.0
1回操作後 ：1.6, 0.0, 1.1, 0.0
2回操作後 ：0.9, 0.0, 1.1, 0.7
3回操作後 ：0.9, 1.1, 0.0, 0.7
4回操作後 ：0.0, 1.1, 0.9, 0.7
5回操作後 ：0.7, 1.1, 0.9, 0.0
6回操作後 ：0.7, 1.1, 0.2, 0.7
7回操作後 ：1.8, 0.0, 0.2, 0.7
8回操作後 ：2.5, 0.0, 0.2, 0.0
9回操作後 ：2.5, 0.0, 0.0, 0.2
10回操作後：0.5, 2.0, 0.0, 0.2
11回操作後：0.5, 0.9, 1.1, 0.2
12回操作後：1.6, 0.9, 0.0, 0.2
13回操作後：1.6, 0.9, 0.2, 0.0
14回操作後：0.9, 0.9, 0.2, 0.7
15回操作後：0.9, 0.9, 0.9, 0.0

Googleってみると、
http://www.hushigi.net/labo/etc/hakari.html
とか
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/water/water.htm
とかが。整数論の問題らしい。